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        挑戰解經典方程(305)_三種不_樣方法

        放大字體  縮小字體 發布日期:2023-04-22 20:04:50    作者:付漫婷    瀏覽次數:137
        導讀

        a≠±1、0解法①:依題意a≠0,a2≠0∴1/(1-1/a)2+1/(1+1/a)2=6令1-1/a=x,1+1/a=y∴1/x2+1/y2=6∴x2+y2=6x2y2…① x+y=2…②由②:x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy…③代入①4-2xy=6x2y2

        a≠±1、0

        解法①:依題意a≠0,a2≠0

        ∴1/(1-1/a)2+1/(1+1/a)2=6

        令1-1/a=x,1+1/a=y

        ∴1/x2+1/y2=6

        ∴x2+y2=6x2y2…①

        x+y=2…②

        由②:x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy…③代入①

        4-2xy=6x2y2

        ∴3(xy)+xy-2=0

        ∴(3xy-2)(xy+1)=0

        ∴xy=2/3或xy=-1

        當xy=2/3時,(1-1/a)(1+1/a)=2/3

        ∴1-1/a2=2/3,a2=3,a=±√3

        當xy=-1時,(1-1/a)(1+1/a)=-1

        ∴1-1/a2=-1,a2=1/2,a=±√2/2

        ∴原方程得解為:a1=√3,a2=-√3,a3=√2/2,a4=-√2/2

        解法②:分析:[a/(a-1)+a/(a+1)]2

        =[2a2/(a2-1)]2

        2.a/(a-1).a/(a+1)=2a2/(a2-1)

        ∴原方程可變為

        [a2/(a-1)2+2.a/(a-1).a/(a+1)+a2/(a+1)2]-2.a/(a-1).a/(a+1)-6=0

        ∴[a/(a-1)+a/(a+1)]2-2a2/(a2-1)-6=0

        ∴[2a2/(a2-1)]2-2a2/(a2-1)-6=0

        令2a2/(a2-1)=x

        ∴x2-x-6=0

        ∴(x-3)(x+2)=0

        ∴x=3或x=-2

        當x=3時,2a2/(a2-1)=3,a=±√3

        當x=-2時,2a2/(a2-1)=-2,a=±√2/2

        ∴原方程得解為:a1=√3,a2=-√3,a3=√2/2,a4=-√2/2

        解法③:分析:a/(a-1)+a/(a+1)

        =(a2+a+a2-a)/(a2-1)=2a2/(a2-1)

        a/(a-1).a/(a+1)=a2/(a2-1)

        令a/(a-1)=x,a/(a+1)=y

        ∴x2+y2=6…①

        x+y=2xy…②

        由①:(x+y)2-2xy=6…③

        將②代入③:(x+y)2-(x+y)-6=0

        ∴[(x+y)-3][(x+y)+2]=0

        ∴x+y=3或x+y=-2

        當x+y=3時,xy=3/2

        ∴2a2/(a2-1)=3,∴2a2=3a2-3,∴a=±√3

        當x+y=-2時,xy=-1

        ∴2a2/(a2-1)=-2,2a2=-2a2+2,∴a2=1/2,a=±√2/2

        ∴原方程得解為:a1=√3,a2=-√3,a3=√2/2,a4=-√2/2

         
        (文/付漫婷)
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