這是頭條網友發給我得幾何題，說是五年級得題目，看了一下，小學生應該做不出來。

題目：邊長為4得正方形里面有個內接圓，用正方形邊長為半徑以正方形得兩個相對頂點為圓心作兩個扇形，求扇形圓弧與內接圓圍成得面積。

幾何題

解題分析：題目看起來簡單，其實很不好做。如果所求扇形得角度不是特殊角，只能用反三角函數來表示角度。

我們可以作幫助線，畫出圖形，找到解題思路，計算一下角度。

作幫助線

解題思路：一個月牙陰影得面積與三個圖形得面積有關。一個月牙陰影得面積=凹四邊形AFOH面積+扇形OFH面積-扇形AFH面積。

思路有了，我們現在來計算。看△AOH，AH=4，AO=2√2，OH=2，知道三角形三邊得長，可以用余弦定理求出三角形得角度。

OH2=AH2+AO2-2AH×AOcos∠OAH，

4=16+8-16√2cos∠OAH，

16√2cos∠OAH=20，

cos∠OAH=5√2/8，

∠OAH=arccos(5√2/8)，

∠FAH=2arccos(5√2/8)。

為了求另一個扇形面積，我們還要求△AOH得另一個角∠AOH，然后求∠FOH。

AH2=AO2+OH2-2AO×OHcos∠AOH，

16=8+4-8√2cos∠AOH，

2√2cos∠AOH=-1，

cos∠AOH=-√2/4，

∠AOH=arccos(-√2/4)，

∠COH=π-∠AOH=π-arccos(-√2/4)，

∠FOH=2∠COH=2π-2arccos(-√2/4)。

角度算出來了，兩個扇形得面積就可以算出來了。

扇形AFH面積=(∠FAH/(2π))×π×42

=8×2arccos(5√2/8)=16arccos(5√2/8)。

扇形OFH面積=(∠FOH/(2π))×π×22

=2(2π-2arccos(-√2/4))

=4π-4arccos(-√2/4)。

凹四邊形AFOH面積等于兩個△AOH得面積。我們可以用海倫公式S△=√(p(p-a)(p-b)(p-c))求三角形得面積。

凹四邊形AFOH面積=2S△AOH

=2√((3+√2)(√2-1)(√2+1)(3-√2))

=2√(7×1)=2√7。

一個月牙陰影得面積

=凹四邊形AFOH面積+扇形OFH面積-扇形AFH面積

=2√7+4π-4arccos(-√2/4)-16arccos(5√2/8)。

兩個月牙陰影得面積乘2即可。