你是否被這樣的問(wèn)題困擾過(guò)？
在小學(xué)階段，每個(gè)人應(yīng)該都做過(guò)這種題，給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律。
長(zhǎng)大以后，如果你參加過(guò)一些招聘考試，也應(yīng)該做過(guò)這種題，給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律。
給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律，這應(yīng)該算是一個(gè)經(jīng)久不衰的問(wèn)題。但是，正如標(biāo)題所寫，面對(duì)這種問(wèn)題，但凡思考一秒鐘，都對(duì)不起你的智商。
一個(gè)有點(diǎn)變態(tài)的例子先來(lái)看一串?dāng)?shù)字：
1，2，3，4
下一個(gè)數(shù)字是多少？
不必思考，我直接告訴你答案：不管你填什么數(shù)字，都有規(guī)律！
這可不是隨口一說(shuō)，而是可以嚴(yán)格證明的。
我相信大部分讀者都對(duì)嚴(yán)格證明不感興趣，所以我把證明過(guò)程放到了最后，現(xiàn)在先來(lái)看一個(gè)有點(diǎn)變態(tài)的例子。
回到上面那一串?dāng)?shù)字：
1，2，3，4
下一個(gè)數(shù)字是5嗎？
可以是5，但如果是5，那就一點(diǎn)都不變態(tài)，所以我在這里選108。
1，2，3，4，108
這有什么規(guī)律？
一些讀者可能會(huì)覺(jué)得這還是太簡(jiǎn)單了，所以我還是讓它更變態(tài)一點(diǎn)比較好，讓再下一個(gè)數(shù)字等于-7。
1，2，3，4，108，-7
現(xiàn)在應(yīng)該有點(diǎn)意思了，那么這一串?dāng)?shù)字有什么規(guī)律？
各位讀者可以先思考一下。
1，2，3，4，108，-7
這其實(shí)是一個(gè)數(shù)列，我們通常說(shuō)的“找規(guī)律”其實(shí)就是找出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
比如：2，4，8，16，32，……
這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式就是：
也可以做成表格：
A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
數(shù)列的通項(xiàng)公式就像函數(shù)的解析式一樣，只不過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式的自變量只能取離散的數(shù)字，而函數(shù)的解析式的自變量可以連續(xù)取值。
所以函數(shù)的研究方法可以套用到數(shù)列上。
很多函數(shù)的解析式可以用泰勒級(jí)數(shù)表示，在這里不需要知道泰勒級(jí)數(shù)究竟是什么，只需要知道：
函數(shù)的解析式可以寫成“多項(xiàng)式”的形式。
比如：
套用到數(shù)列上，可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式假設(shè)成多項(xiàng)式：
對(duì)于這個(gè)具體的數(shù)列：
1，2，3，4，108，-7
可以列出一個(gè)表格：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 1 | 2 | 3 | 4 | 108 | -7 |
根據(jù)這前六項(xiàng)，以及之前寫出的多項(xiàng)式，可以得到一個(gè)方程組：
六個(gè)獨(dú)立方程，六個(gè)未知數(shù)，解方程組就能求出多項(xiàng)式的系數(shù)，寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
文章末尾會(huì)談?wù)撨@個(gè)方程組的簡(jiǎn)單求解方法，在這里我直接給出結(jié)果：
頭條上不能編輯太長(zhǎng)的公式，我把一個(gè)公式分成兩段，大家湊合著看。
1，2，3，4，108，-7
背后的規(guī)律就是上面那個(gè)通項(xiàng)公式。
談一談線性代數(shù)現(xiàn)在也該說(shuō)一說(shuō)證明過(guò)程了，怎么確保列出的方程組一定有解？
有人可能會(huì)問(wèn)：
如果列出的方程組根本就沒(méi)有解，那不就找不到規(guī)律了？
可以用線性代數(shù)看待這個(gè)問(wèn)題，把上文列出的方程組寫成矩陣的形式:
如果方程組有解，那么系數(shù)矩陣就有逆矩陣。系數(shù)矩陣也就是這個(gè)矩陣：
大家應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，不管是怎樣的一串?dāng)?shù)字，列出的系數(shù)矩陣都是一個(gè)結(jié)構(gòu)。這種矩陣有專門的名字：范德蒙矩陣。
學(xué)過(guò)線性代數(shù)的讀者應(yīng)該知道，一個(gè)矩陣有逆矩陣的條件是：行列式不為零。
范德蒙矩陣的行列式就是范德蒙行列式，范德蒙行列式有簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，一般的范德蒙行列式是：
如果用det表示行列式，范德蒙行列式的計(jì)算方法是：
上文中的那個(gè)具體的系數(shù)矩陣，對(duì)應(yīng)到上面的公式里就是：
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
大家應(yīng)該很容易看出來(lái)，不管用一串?dāng)?shù)字列出多少個(gè)方程，上文提到的系數(shù)矩陣的行列式一定不為零，所以方程組一定有解。
談一談Excel不知道有沒(méi)有讀者試過(guò)求解上文中的方程組，用人腦解那種方程組確實(shí)不容易，而且很容易算錯(cuò)。
把繁瑣的計(jì)算交給電腦，才是明智的選擇。
用X表示系數(shù)矩陣，a表示多項(xiàng)式系數(shù)組成的向量，y表示所給數(shù)字組成的向量，上面這個(gè)方程組可以簡(jiǎn)寫成：
只需要求出系數(shù)矩陣的逆矩陣，在與所給數(shù)字組成的向量相乘，就解出了多項(xiàng)式的系數(shù)：
可以用Excel快速求出一個(gè)矩陣的逆矩陣，首先需要把矩陣輸入Excel：
再選中一個(gè)與輸入的矩陣的行數(shù)、列數(shù)都相同的區(qū)域：
插入下圖中的函數(shù)：
選中輸入的矩陣：
再按“ctrl+shift+enter”鍵，就能得到逆矩陣：
上圖中的逆矩陣元素是用小數(shù)表達(dá)的，如果想看得更直觀，可以把“單元格格式”設(shè)置成“分?jǐn)?shù)”：
再輸入所給數(shù)字組成的向量，選中與向量相同列數(shù)的區(qū)域：
插入下圖中的函數(shù)：
選中矩陣與向量：
再按“ctrl+shift+enter”鍵，就能得到多項(xiàng)式系數(shù)組成的向量：
如果想看得更直觀，可以把“單元格格式”設(shè)置成“分?jǐn)?shù)”：
我相信大家已經(jīng)理解，給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律，但凡思考一秒鐘，都對(duì)不起你的智商。
正是因?yàn)殡S便填幾個(gè)數(shù)，都有規(guī)律。導(dǎo)致給一串?dāng)?shù)字找規(guī)律，往往毫無(wú)意義。
