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        為什么必須要嚴(yán)格證明1+1_2?背后的底層邏輯

        放大字體  縮小字體 發(fā)布日期:2023-02-15 08:14:24    作者:百里玉瑾    瀏覽次數(shù):94
        導(dǎo)讀

        前幾天,筆者寫了一篇嚴(yán)格證明“1+1=2”得文章,引發(fā)了廣大數(shù)學(xué)愛好者得激烈討論。很多朋友都對證明1+1=2得必要性提出了質(zhì)疑,認(rèn)為數(shù)學(xué)家們很無聊,完全沒有必要去證明這顯而易見得結(jié)論。今天我就對大家提出廣泛質(zhì)疑

        前幾天,筆者寫了一篇嚴(yán)格證明“1+1=2”得文章,引發(fā)了廣大數(shù)學(xué)愛好者得激烈討論。很多朋友都對證明1+1=2得必要性提出了質(zhì)疑,認(rèn)為數(shù)學(xué)家們很無聊,完全沒有必要去證明這顯而易見得結(jié)論。

        今天我就對大家提出廣泛質(zhì)疑得幾個問題一一進(jìn)行解答。

        首先我們再次回顧皮亞諾公理

        皮亞諾公理定義自然數(shù)集N得五條公理如下:

        (1)0是自然數(shù);

        (2)每一個確定得自然數(shù)a,都具有確定得后繼數(shù)a',a'也是自然數(shù);

        數(shù)a得后繼數(shù)a'就是緊接在這個數(shù)后面得整數(shù)。

        定義0'=1,1'=2,2'=3,……

        (3)0不是任何自然數(shù)得后繼數(shù);

        (4)不同得自然數(shù)有不同得后繼數(shù),如果自然數(shù)b、c得后繼數(shù)都是自然數(shù)a,那么b=c;

        (5)設(shè)集合S是自然數(shù)集N得子集,且滿足兩個條件

        ①0∈S,②如果n∈S,那么n'∈S

        則S=N

        問題一:什么叫公理?公理需要嚴(yán)格證明么?

        回答:所謂公理就是人們廣泛接受公認(rèn)得道理,公理是不需要進(jìn)行證明得。

        例如“兩點(diǎn)之間直線距離最短”、“兩直線平行,同位角相等”,這些就叫公理。大家都廣泛地認(rèn)可其正確性,是不需要進(jìn)行證明得,也是證明不了得。

        問題二:我們?yōu)槭裁匆J(rèn)可皮亞諾公理得體系?我們能夠自創(chuàng)一種新得公理體系么?

        回答:我們認(rèn)可皮亞諾公理體系得原因有3點(diǎn)

        1.以上公理體系是由皮亞諾最先提出得;

        2.此公理體系語言精練簡潔,語義沒有歧義;

        3.此公理體系滿足邏輯自洽。所謂邏輯自洽就是指該公理體系是符合邏輯性得,不是自相矛盾得。換句通俗一點(diǎn)得語言就是能夠“自圓其說”。

        另外,我們當(dāng)然可以自創(chuàng)一個新得公理體系,只要你所創(chuàng)得體系能夠滿足以上3點(diǎn)并被大眾廣泛認(rèn)可。

        問題三:皮亞諾公理關(guān)于自然數(shù)集N得定義這5點(diǎn)具體是什么含義?

        (1)0是自然數(shù);

        回答:第(1)點(diǎn)明確了0是一個自然數(shù)。

        (2)每一個確定得自然數(shù)a,都具有確定得后繼數(shù)a',a'也是自然數(shù);

        數(shù)a得后繼數(shù)a'就是緊接在這個數(shù)后面得整數(shù)。

        定義0'=1,1'=2,2'=3,……

        回答:第(2)點(diǎn)告訴我們,每一個自然數(shù)得后繼數(shù)也是自然數(shù)。0得后繼數(shù)是自然數(shù),0得后繼數(shù)得后繼數(shù)也是自然數(shù),以此類推,每一個自然數(shù)都是由0得后繼數(shù)衍生出來得。

        (3)0不是任何自然數(shù)得后繼數(shù);

        回答:第(3)點(diǎn)告訴我們,0是所有自然數(shù)得起點(diǎn),這一點(diǎn)也奠定了0在所有自然數(shù)中具有特殊得地位。除了0以外,其他自然數(shù)都不具有特殊性,僅僅是0得后繼數(shù)衍生出來得而已。

        (4)不同得自然數(shù)有不同得后繼數(shù),如果自然數(shù)b、c得后繼數(shù)都是自然數(shù)a,那么b=c;

        回答:第(4)點(diǎn)告訴我們不同自然數(shù)得后繼數(shù)也不同,反過來,如果兩個自然數(shù)得后繼數(shù)相同,那么這兩個自然數(shù)也相同。

        這一點(diǎn)保證了自然數(shù)得后繼數(shù)不可能形成閉環(huán),也說明了自然數(shù)有無窮多個。

        (5)設(shè)集合S是自然數(shù)集N得子集,且滿足兩個條件

        ①0∈S,②如果n∈S,那么n'∈S

        則S=N

        回答:第(5)點(diǎn)非常重要,公理(5)也叫歸納公理,這條公理保證了數(shù)學(xué)歸納法得正確性,其含義是指如果某個結(jié)論對a=0成立,再假設(shè)這個結(jié)論對a∈N成立,能夠推出這個結(jié)論對a'也成立,則說明這個結(jié)論對所有a∈N都成立。

        接下來我們再來回顧皮亞諾公理是如何定義加法運(yùn)算法則得:

        加法滿足以下兩種規(guī)則得運(yùn)算:

        (1)任意m∈N,0+m=m

        (2)任意m,n∈N,n'+m=(n+m)'

        問題四:皮亞諾公理關(guān)于加法運(yùn)算得定義這2點(diǎn)具體是什么含義?

        (1)任意m∈N,0+m=m

        回答:第(1)點(diǎn)再次體現(xiàn)出0得特殊性,其含義是指“0加任何自然數(shù)都等于這個自然數(shù)本身”。

        這里需要強(qiáng)調(diào)得是,定義只規(guī)定了0+m=m,并沒有規(guī)定m+0=m

        在還沒有嚴(yán)格證明加法交換律之前,這兩者是有本質(zhì)區(qū)別得。

        (2)任意m,n∈N,n'+m=(n+m)'

        回答:第(2)點(diǎn)告訴我們,任何一個自然數(shù)得后繼數(shù)加上另一個自然數(shù)都等于這兩個自然數(shù)和得后繼數(shù)。這一點(diǎn)將加法運(yùn)算和后繼數(shù)有機(jī)地結(jié)合了起來。

        同樣,這里并沒有定義m+n'=(m+n)',在具體運(yùn)算得時候必須加以區(qū)分。

        問題五:如何利用皮亞諾公理證明“1+1=2”?

        回答:證明:1+1=2

        根據(jù)公理(2)定義,0'=1,1+1=0'+1

        根據(jù)加法法則(2),0'+1=(0+1)'

        根據(jù)加法法則(1),0+1=1,(0+1)'=1'

        再根據(jù)公理(2)定義,1'=2

        也就是說,1+1=0'+1=(0+1)'=1'=2

        所以1+1=2

        證畢!

        問題六:我們?yōu)槭裁幢仨氁プC明“1+1=2”?

        回答:因為皮亞諾公理得體系只是定義了自然數(shù)0,定義了0得后繼數(shù)是1,1得后繼數(shù)是2,定義了加法運(yùn)算法則。但是,整個公理體系并沒有定義“1+1=2”,凡是沒有直接給出定義得結(jié)論都必須要進(jìn)行嚴(yán)格證明。

        問題七:我們證明“1+1=2”得本質(zhì)意義是什么?

        回答:證明“1+1=2”得本質(zhì)是證明“0得后繼數(shù)+0得后繼數(shù)=0得后繼數(shù)得后繼數(shù)”。

        你也可以定義0得后繼數(shù)是a,a得后繼數(shù)是b。那我們需要證明得就是“a+a=b”了。

        大家常見得疑問就先回答到這里,歡迎大家繼續(xù)討論。

        最后,這篇文章是我近期所寫文章中最耗腦力得一篇,為了保證把以上概念都闡述清楚,不產(chǎn)生歧義和邏輯漏洞,每一句話每一個字都反復(fù)斟酌。其實(shí)很多事情都是這樣,往往最簡單得底層邏輯卻需要最深刻得理解去進(jìn)行領(lǐng)會。希望大家都能從中有所收獲。

         
        (文/百里玉瑾)
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